quanto fica para alguém montar o código.
Sugiro que use duas frentes. Use o programa wget para fazer um get na sua página php e leia o resultado:
wget -O - sua_url_ou_ip
Isso vai mostrar o retorno no stdout. Se estiver retornando do jeito que tem que ser, basta fazer a consulta com Arduino. Considere que a memória dos shields ethernet variam conforme o modelo e você pode ter que fazer chuncks. Comece criando um php só para mandar um “hello”, assim fica mais fácil de ir percebendo os problemas.
O que você precisará provavelmente é isso:
https://www.arduino.cc/en/Tutorial/WebClient